Question

【題目】如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，分別與、交于點、．

（1）過點作，垂足為，求證：為的切線；

（2）連接，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）連接ON，如圖，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=DB，則∠1=∠B，再證明∠2=∠B得到ON∥DB，接著根據平行線的性質得到ON⊥NE，然后利用切線的判定即可得到結論；

（2）連接DN，如圖，根據圓周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，則可判斷四邊形CMDN為矩形，所以DM=CN，然后證明CN=BN，從而得到MD=NB．

1)連接ON，如圖，

∵CD為斜邊AB上的中線，

∴CD=AD=DB，

∴∠1=∠B．

∵OC=ON，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠B，

∴ON∥DB．

∵NE⊥AB，

∴ON⊥NE，

∴NE為切線；

（2）連接DN，如圖，

∵CD為直徑，

∴∠CMD=∠CND=90°，

而∠MCB=90°，

∴四邊形CMDN為矩形，

∴DM=CN．

∵DN⊥BC，CD=BD，

∴CN=BN，

∴MD=NB．