Question

【題目】觀察猜想：

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D與點C重合，點E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，

探究證明：

（2）在（1）中，如果將點D沿CA方向移動，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結論是否保持不變？若改變，請求出具體數值：若不變，請說明理由．

拓展延伸

（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點D順時針旋轉90°至點F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請用含有n，a的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據此求得CE的長度，根據等腰直角三角形的性質來求EF的長度，易得答案；

（2）不變．理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，構造直角三角形：△ADG，結合含30度角的直角三角形的性質和銳角三角函數的定義，結合方程求得答案；

（3）如圖3，過點E作EG⊥AD于點G，構造直角三角形，根據銳角三角函數的定義列出方程并解答．

（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠B＝60°．

又CE＝AE，

∴∠ACE＝∠A＝30°，

∴∠BCE＝60°，

∴△BEC是等邊三角形，

∴BE＝CE．

∴AE＝CE＝BE．

∴AD＝AB＝CE．

又由旋轉的性質知：FC＝EC，∠FCE＝90°，

∴EF＝CE，

∴＝＝．

∵∠ADE＝30°，

∴sin∠ADE＝．

故答案是：；；

（2）不變，理由：

如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，則△ADG是直角三角形．

∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設DG＝x，

∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．

∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．

∵∠EDF＝90°，

∴EF＝x．

∴＝＝．

∵∠ADE＝30°，

∴sin∠ADE＝．

（3）過點E作EG⊥AD于點G，設AE＝x，則DE＝nx．

∵∠CAB＝a，

∴AG＝cosαx，EG＝sinαx．

∴DG＝＝x．

∴AD＝cosαx+x．

∵∠EDF＝90°，DE＝DF，

∴EF＝DE＝nx．

∴＝＝，

sin∠ADE＝＝＝．