Question

【題目】如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，延長交的延長線于點(diǎn)，連接．

（1）求的值；

（2）求證：四邊形是菱形；

（3）如圖2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)，，請解決以下相關(guān)問題：

①寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；

②是否存在這樣的點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）①，②存在，滿足條件的的值為或．

【解析】

（1）由翻折可知：．，設(shè)，則在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可EC的長，再求FC的長，再求的值即可；
（2）先證四邊形是平行四邊形，再由AD=AF,即可證得四邊形是菱形；

（3）①證明∽，可得，由此即可解決問題．
有兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)如圖中，當(dāng)時(shí)，作于分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形是矩形，

∴，，

∴，

由翻折可知：．，設(shè)，則．

在中，，

∴，

在中，則有：，

∴，

∴,

∴EF=DE=5,FC==4,

∴==;

（2）由翻折可知：∠DAE=∠FAE,AD=AF,

∵,

∴∠DAE=∠FGA,

∴∠FAG=∠FGA,

∴AF=FG,

∴AD=FG,

∴四邊形是平行四邊形，

又∵AD=AF,

∴四邊形是菱形；

（3）①如圖2中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

②存在．有兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)時(shí)，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，作于．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

由，可得，

∴，

∴，

∴．

綜上所述，滿足條件的的值為或．