Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的圓交于點，交于點，以點為頂點作，使得，交延長線于點，連接、，延長交于點．

（1）求證：為的切線；

（2）求證：；

（3）若，且，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明詳見解析；（3）5

【解析】

（1）根據直徑所對圓周角是直角，結合等邊對等角，證明，即可證明；

（2）先證明，結合，即可證明；

（3）根據以及，列出半徑的方程，即可求得結果.

（1）證明：∵為直徑，∴，即，

又∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

即∴直徑，

∴為的切線

（2）∵，∴，

∵為直徑，∴，

∴，∴，

∴，又∵，

∴，

（3）設的半徑為，則，

由，設，

∵，，為直徑，

∴，，，

∴，∴，

即，①

在中，，可得：，

∴，∴，即，

∵，∴②

由①②解得：，，

∴的半徑為5．