Question

【題目】如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，現將紙片沿EF折疊，使點A的對應點A′落在邊AB上，連接A′C，如果△A′BC恰好是以AC為腰的等腰三角形，則AE的長是___．

Answer 1

【答案】1或．

【解析】

如圖1，過點C作CM⊥AB于點M，過點D作DN⊥AB于點N，則易證△ADN≌△BCM，進一步可求得AN＝BM＝4；由于△A′BC恰好是以AC為腰的等腰三角形，故可分兩種情況考慮：若A'C＝BC，如圖1，由等腰三角形的性質可得BM＝A'M=4，進一步即可求出AE的長；若A'C＝A'B，如圖2，由CM 是兩個直角△、△的公共邊，根據勾股定理可得CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，再代入數據求解方程即可.

解：如圖1，過點C作CM⊥AB于點M，過點D作DN⊥AB于點N，

在△ADN和△BCM中，，

∴△ADN≌△BCM（AAS）

∴AN＝BM，DN＝CM，且DN∥CM，

∴四邊形DCMN是矩形，

∴CD＝MN＝2

∴AN＝BM＝，

∵將紙片沿EF折疊，使點A的對應點A'落在AB邊上，

∴AE＝A'E，

若A'C＝BC，

∵CM⊥AB，

∴BM＝A'M＝4，

∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣8＝2，

∴AE＝1，

若A'C＝A'B，如圖2所示：

∵CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，

∴25﹣16＝A'B2﹣（4﹣A'B）2，

解得：A'B＝，

∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣＝，

∴AE＝AA'＝；

故答案為：1或．