Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，6）三點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為點E，連接AE．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果點P的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）過點P（﹣3，m）作x軸的垂線，垂足為點F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P，求出P的坐標．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝-x2﹣2x+6，拋物線的頂點D（﹣2，8）；（2）9；（3）P′（，）．

【解析】

1）由拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C三點，則代入求得a，b，c，進而得解析式與頂點D．
（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點．由S△APE=PEyP，所以S可表示，進而由函數最值性質易得S最值．

(3)求出點P，過點P′作P′M⊥y軸于點M，再根據相關條件解答即可.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣6，0），B（2，0），C（0，6）三點，

∴，解得：，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x+6，

∵，，

∴拋物線的頂點D（﹣2，8）；

（2）∵A（﹣6，0），D（﹣2，8），

∴設AD的解析式y＝2x+12，

∵點P在AD上，

∴P（x，2x+12），

∴S△APE＝PEyP＝×（﹣x）（2x+12）＝﹣x2﹣6x，

當x＝-3時，S最大=9；

（3）P′（，）．

點P在AD上，

∴當﹣3時，y＝2×（﹣3）+12＝6，

∴點P（﹣3，6），

∴PF＝6，PE＝3，

過點P′作P′M⊥y軸于點M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，

∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝6，PE＝P′E＝3，

∵PF∥y軸，

∴∠PFE＝∠FEN，

∵∠PFE＝∠P′FE，

∴∠FEN＝∠P′FE，

∴EN＝FN，

設EN＝a，則FN＝a，P′N＝6﹣a，

在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2＝EN2，即（6﹣a）2+32＝a2，解得：a＝，

∵S△P′EN＝P′NP′E＝ENP′M，

∴P′M＝，

在Rt△EMP′中，EM＝，

∴OM＝EO﹣EM＝6﹣＝，

∴P′（，）．