Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.在平面內任取一點D，連接AD（AD<AB），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接DE，CE，BD.

（1）請根據題意補全圖①；

（2）猜測BD和CE的數量關系并證明；

（3）作射線BD，CE交于點P，把△ADE饒點A旋轉，當∠EAC=90°，AB=3，AD=2時，補全圖形，直接寫出PB的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）BD和CE的數量是：BD=CE；理由見解析；

（3）圖見解析；PB的長是或.

【解析】

（1）根據旋轉的定義即可補全圖形；

（2）根據題意證明△ABD≌△ACE即可解決問題；

（3）①根據題意證明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠ABD，再根據兩角對應相等得到△BPE∽△BAD,再根據對應線段成比例即可求解；②同理△BPE∽△BAD，求出

解：（1）補全圖，如圖；

（2）BD和CE的數量是：BD=CE；

∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，

∴∠DAB=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE；

（3）結論：PB的長是.或

理由：①如圖②

由△ACE≌△ABD，可知：∠ACE=∠ABD，

∵∠AEC=∠BEP，

∴∠BPE=∠EAC=90°，

∵∠PBE=∠ABD，

∴△BPE∽△BAD，

∴,

∵AB=AC=3，AD=AE=2，∴BE=AB-AE=AB-AD=1，

BD=EC==

∴

∴BP=

②如圖③，同理△BPE∽△BAD，

∴,

∵AB=AC=3，AD=AE=2，∴BE=AB+AE=AB+AD=5，

BD=EC==

∴

∴.BP=