Question

【題目】等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，點M為BC中點，含45°的直角三角板的銳角頂點與M重合，當三角板繞點M旋轉時，三角板與兩直角邊交于點P、Q．P、Q分別在AB、AC邊上，設BP＝x，CQ＝y．

（1）求y與x的函數關系式；

（2）寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）0＜x≤6．

【解析】

（1）證明△BPM∽△CMQ，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（2）首先求得AB的長度，則x的范圍即可求得．

（1）∵M為BC中點，

∴BM＝CM＝BC＝×12＝6．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝∠C＝∠PMQ＝45°，

∵△BPM中，∠B+∠BPM+∠BMP＝180°，則∠BPM+∠BMP＝135°，

又∵∠BMP+∠PMQ+∠QMC＝180°，則∠BMP+∠QMC＝135°，

∴∠BPM＝∠QMC，

又∵∠B＝∠C，

∴△BPM∽△CMQ，

∴，即，

∴y＝；

（2）直角△ABC中，AB＝BCsin45°＝12×＝6，

則0＜x≤6．