Question

【題目】如圖，是由繞點順時針旋轉得到的，連結交斜邊于點，的延長線交于點．

（1）若，，求；

（2）證明：；

（3）設，試探索滿足什么關系時，與是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3），見解析

【解析】

（1）根據旋轉的性質可以證得：△ACC′∽△ABB′，即可求解；
（2）根據旋轉的性質可以證得：AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，再根據∠AEC=∠FEB即可證明兩個三角形相似；
（3）當β=2α時，△ACE≌△FBE．易證∠ABC=∠BCE，再根據CE=BE，即可證得．

（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，
∴
由旋轉可知：∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵AC=3，AB=4，
∴ ；
（2）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
（3）解：當β=2α時，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，

∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C= =90°-α，

在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．