Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為10，sinA＝，點M為邊AD上的一個動點且不與點A和點D重合，點A關于直線BM的對稱點為點A'，點N為線段CA'的中點，連接DN，則線段DN長度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】﹣5．

【解析】

通過構造三邊關系來求DN的最小值，根據A，A'關于直線BM對稱，BA′＝10，取BC的中點K，NK是的中位線，NK=5，作DH⊥BC，根據sinA＝可求出DH=8，CH=6，在Rt△DHK中，由勾股定理求得DK的值，看△DNK根據三角形的三邊關系即可求出答案．

解：如圖，連接BA′，取BC的中點K，連接NK，作DH⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠A＝∠DCB，

∵A，A′關于BM對稱，

∴BA′＝BA＝10，

∵CN＝NA′，CK＝BK，

∴NK＝BA′＝5，

∵sin∠A＝sin∠DCH＝＝，

∴DH＝8，

∴CH＝＝＝6，

∴CK＝KB＝5，

∴HK＝CH＝CK＝1，

∴DK＝＝＝，

∵DN≥DK﹣NK，

∴DN≥﹣5，

∴DN的最小值為﹣5，

故答案為：﹣5．