Question

△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，設BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數關系，并探究當m為何值時S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tan∠EDF=，求此圓直徑．

Answer 1

(1)證明見解析
(2)S與m之間的函數關系為：S═﹣（m﹣2）²+3（其中0＜m＜4）．當m=2時，S取到最大值，最大值為3
(3)此圓直徑長為．

試題分析：（1）由已知可知∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，所以得證．
（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，這兩個三角形均為直角三角形，在△BDF與△CEF中，由三角函數可以用m表示出BD、DF、CE、EF的長，進而可得AD、AE的長，從而可以用含m的代數式表示S，然后通過配方，轉化為二次函數的最值問題，就可以解決問題．
（3）由已知易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉化為∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長．
試題解析：（1）:∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°==，cos60°==．
∵BF=m，
∴DF=m，BD=．
∵AB=4，
∴AD=4﹣．
∴S_△ADF=AD•DF
=×（4﹣）×m
=﹣m²+m．
同理：S_△AEF=AE•EF
=×（4﹣）×（4﹣m）
=﹣m²+2．
∴S=S_△ADF+S_△AEF
=﹣m²+m+2
=﹣（m²﹣4m﹣8）
=﹣（m﹣2）²+3．其中0＜m＜4．
∵﹣＜0，0＜2＜4，
∴當m=2時，S取最大值，最大值為3．
∴S與m之間的函數關系為：
S═﹣（m﹣2）²+3（其中0＜m＜4）．
當m=2時，S取到最大值，最大值為3．
（3）如圖2，

∵A、D、F、E四點共圓，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圓的直徑．
∵tan∠EDF=，
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵∠C=60°，
∴=tan60°=．
設EC=x，則EF=x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=a．
∴x=．
∴EF=，AE=．
∵∠AEF=90°，
∴AF==．
∴此圓直徑長為．