Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF

（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變；
①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；
②若正方形ADEF的邊長為，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。
∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC。
（2）CF﹣CD=BC。
（3）①CD﹣CF=BC。
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。
∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD。
∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°。∴∠ACF=∠ABD=135°。∴∠FCD=90°。
∴△FCD是直角三角形。
∵正方形ADEF的邊長為且對角線AE、DF相交于點O，
∴DF=AD=4，O為DF中點。
∴OC=DF=2。

試題分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據此即可證得。
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC。
（3）①同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CD﹣CF=BC。
②證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據正方形的性質即可求得DF的長，則OC即可求得。