Question

【題目】已知直線y=x+m與拋物線x2=4y相切，且與x軸的交點為M，點N（﹣1，0）．若動點P與兩定點M，N所構(gòu)成三角形的周長為6．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 設(shè)斜率為 的直線l交曲線C于A，B兩點，當(dāng)PN⊥MN時，證明：∠APN=∠BPN．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線y=x+m與拋物線x2=4y相切，
∴方程x2=4（x+m）有等根，
∴△=16+16m=0，解得m=﹣1，∴M（1，0），
又∵動點P與定點M（1，0），N（﹣1，0）所構(gòu)成的三角形的周長為6，且|MN|=2，
∴|PM|+|PN|=4＞|MN|=2，
根據(jù)橢圓的定義，動點在以M，N為焦點的橢圓上，且不在x軸上，
∴2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b= ，
∴動點P的軌跡C的方程為 =1（y≠0）．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y= ，（t≠±1），
聯(lián)立 ，得x2+tx+t2﹣3=0，
△′=﹣3t2+12＞0，∴﹣2＜t＜2，此時直線l與曲線C有兩個交點A，B，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ，
∵PN⊥MN，不妨取P（1， ），
要證明∠APN=∠BPN，也就是要證明kAP+kBP=0，
即證 + =0，即證（ ）（x2﹣1）+（y2﹣ ）（x1﹣1）=0，
即證x1x2+t（x1+x2）﹣2（x1+x2）+3﹣2t=0，
把 ，代入，得：
t2﹣3﹣t2+2t+3﹣2t=0，
∴∠APN=∠BPN．
【解析】（Ⅰ）由直線y=x+m與拋物線x2=4y相切，利用根的差別式求出m=﹣1，從而M（1，0），進而推導(dǎo)出動點在以M，N為焦點的橢圓上，且不在x軸上，由此能求出動點P的軌跡C的方程．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y= ，（t≠±1），聯(lián)立 ，得x2+tx+t2﹣3=0，由根的判別式得到﹣2＜t＜2，要證明∠APN=∠BPN，即要證明kAP+kBP=0，即證x1x2+t（x1+x2）﹣2（x1+x2）+3﹣2t=0，由此利用韋達(dá)定理能證明∠APN=∠BPN．