Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．

（1）求證：AD=BC；
（2）若E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：過點B作BM∥AC交DC的延長線于點M，如圖1，

∵AB∥CD

∴四邊形ABMC為平行四邊形，

∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，

在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SAS），

∴AD=BC；

（2）

證明：連接EH，HF，FG，GE，如圖2，

∵E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，

∴HE∥AD，且HE= AD，FG∥AD，且FG= ，

∴四邊形HFGE為平行四邊形，

由（1）知，AD=BC，

∴HE=EG，

∴HFGE為菱形，

∴EF與GH互相垂直平分．

【解析】（1）由平行四邊形的性質易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等三角形判定定理及性質得出結論；
（2）連接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，易得四邊形HFGE為平行四邊形，由平行四邊形的性質及（1）結論得HFGE為菱形，易得EF與GH互相垂直平分．