Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圓

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接AO并延長交⊙O于E，連接DE，根據各邊的關系，利用等量代換求出∠E＝∠BAD，再根據直徑所對應的的圓周角等于90°，所以∠E+∠DAE＝90°，等量代換∠BAD+∠DAE＝90°，即可證出.(2) 過A作AF⊥BC于F，利用相似三角形求出BD的長度，然后利用等腰三角形的三線合一性質求出BF的長度，再根據勾股定理求出AF的長，最后利用三角函數，根據比值關系求出AE的長，即可知道⊙O的半徑.

（1）證明：連接AO并延長交⊙O于E，連接DE，

∵AB＝AC，AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，

∴∠C＝∠E，

∴∠E＝∠BAD，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE＝90°，

∴∠E+∠DAE＝90°，

∴∠BAD+∠DAE＝90°，

即∠BAE＝90°，

∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：過A作AF⊥BC于F，

∵∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA，

∴=

∴BD＝＝，

∴AD＝BD＝，

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴BF＝BC＝8，

∴AF＝＝6，

∵∠E＝∠C＝∠B，

∴sinE＝sinB，

∴=，

∴AE＝，

∴⊙O的半徑為÷2=．

即⊙O的半徑為