Question

【題目】如圖，函數(k為常數，k＞0)的圖象與過原點的O的直線相交于A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸，y軸于C，D兩點，連接BM分別交x軸，y軸于點E，F．現有以下四個結論：①△ODM與△OCA的面積相等；②若BM⊥AM于點M，則∠MBA＝30°；③若M點的橫坐標為1，△OAM為等邊三角形，則；④若，則MD＝2MA．其中正確的結論的序號是_______．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①設點A（m，），M（n，），構建一次函數求出C，D坐標，利用三角形的面積公式計算即可判斷．

②△OMA不一定是等邊三角形，故結論不一定成立．

③設M（1，k），由△OAM為等邊三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根據OM=AM，構建方程求出k即可判斷．

④如圖，作MK∥OD交OA于K．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．

①設點A（m，），M（n，），

則直線AC的解析式為y=-x++，

∴C（m+n，0），D（0，），

∴，

∴△ODM與△OCA的面積相等，故①正確；

∵反比例函數與正比例函數關于原點對稱，

∴O是AB的中點，

∵BM⊥AM，

∴OM=OA，

∴k=mn，

∴A（m，n），M（n，m），

∴，

∴AM不一定等于OM，

∴∠BAM不一定是60°，

∴∠MBA不一定是30°．故②錯誤，

∵M點的橫坐標為1，

∴可以假設M（1，k），

∵△OAM為等邊三角形，

∴OA=OM=AM，

1+k2=m2+，

∵m＞0，k＞0，

∴m=k，

∵OM=AM，

∴（1-m）2+(k)2=1+k2，

∴k2-4k+1=0，

∴k=2±，

∵m＞1，

∴k=2+，故③正確，

如圖，作MK∥OD交OA于K．

∵OF∥MK，

，

∴，

∵OA=OB，

∴，

∴，

∵KM∥OD，

∴，

∴DM=2AM，故④正確．

故答案為①③④．