Question

如圖1，梯形中，∥，，．一個動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿線段方向運動，過點作，交折線段于點，以為邊向右作正方形，點在射線上，當點到達點時，運動結束．設點的運動時間為秒（）．
（1）當正方形的邊恰好經過點時，求運動時間的值；
（2）在整個運動過程中，設正方形與△的重合部分面積為，請直接寫出與之間的函數關系式和相應的自變量的取值范圍；
（3）如圖2，當點在線段上運動時，線段與對角線交于點，將△沿翻折，得到△，連接．是否存在這樣的，使△是等腰三角形？若存在，求出對應的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當t=4時，正方形PQMN的邊MN恰好過點D
（2）
（3）當時，∆PEF是等腰三角形

解析試題分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據矩形的性質及相關條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結論t的值；
（2）運用求分段函數的方法，分四種情況，當0＜t≤3，當3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時，運用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；
（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分為三種情況：EF=EP時可以求出t值，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．
試題解析：（1）如圖2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，則四邊形AGHD是矩形。
∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，
∴∆ABG≌∆DCH，
∴,
∴當正方形PQMN的邊MN恰好過點D時，點M與點D重合，此時MQ=4，
,
∴當t=4時，正方形PQMN的邊MN恰好過點D。
（2）

如圖1，當0<t≤3時，BP=t,∵
∴，
如圖3，當3<t≤4時，BP="t,"
∴

如圖4，當4<t≤7時，BP="t,"
∴
如圖5，當7<t≤8時，BP="t,"
∴
∴
（3）∵,
∴
∴
由（1）可知則

如圖6，當EF=EP時，
∴
如圖7，當FE=FP時，作FR⊥EP于R，∴
∴
∴
如圖8，當PE=PF時，作PS⊥EF于S，∴
∴
∴
∴當時，∆PEF是等腰三角形。
考點：相似形綜合題．