Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線頂點為.

（1）點坐標為______（結果用表示）.

（2）當時，如圖所示，該拋物線與軸交于，兩點.為拋物線第二象限一點，過作的垂線，垂足為，為射線上一點，若，求；

（3），，若該拋物線與線段只有一個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）化成頂點式即可求得；
（2）過B點作BN⊥CD，交CD的延長線于N，連接BM、AM，求得點A，B，M的坐標，根據勾股定理的逆定理證得△ABM是等腰直角三角形，進而證得△AMC≌△MBN，即可證得BN=DN，得出△BDN是等腰直角三角形，根據三角形外角的性質即可求得∠BDM=135°；
（3）根據題意得到線段GH：,與聯立得到令y′=,若拋物線y=與線段GH只有1個公共點，從而得到結論．

（1）∵拋物線，

∴頂點為為，故答案為；

（2）過點作，交的延長線于，連接、，

∵是拋物線的頂點，

∴，

當時，拋物線為，

令，則，解得，，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴；

（3）∵，，

∴線段為，

與聯立得：，

令，

若拋物線與線段只有1個公共點，

即函數在范圍內只有一個零點，

當時，，

∵，∴此種情況不存在，

當時，，

解得.