Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜）
①當t=1時，△ADF與△DEF是否相似？請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

（1）y=﹣x²+3
（2）①由對應邊成比例可證得
②畫出旋轉后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關鍵

試題分析：解：（1）由題意得AB的中點坐標為（﹣，0），
CD的中點坐標為（0，3），           2分

分別代入y=ax²+b得
，解得，，
∴y=﹣x²+3．                3分
（2）①如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=           4分
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°﹣60°=120°           5分
∵t=1,
∴B點為(1,0)
∴F(1,2) ,E(1,3)
∴EF=1                  6分
在Rt△DEF中
tan∠EDF=
∴∠EDF=30⁰
∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=120⁰—30⁰=90⁰
∴∠ADF=∠DEF
∴DF=2EF=2           7分
又∵,
∴
∴△ADF∽△DEF           8分
②如圖3所示，依題意作出旋轉后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N．

觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區域內，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3﹣t²），∴EF=3﹣（3﹣t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，
由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤．
∵C′E′=CE=，∴C′點的橫坐標為t﹣，
∴MN=3﹣（t﹣）²，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t²，
由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）²≥3﹣2t²，解得t≥．
∴t的取值范圍為：．           11分
點評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、幾何變換(平移與旋轉)、菱形的性質、相似三角形的判定與性質等重要知識點，難度較大，對考生能力要求很高．