Question

如圖，拋物線＝－＋5＋經過點C（4，0），與軸交于另一點A，與軸交于點B．

（1）求點A、B的坐標；
（2）P是軸上一點，△PAB是等腰三角形，試求P點坐標；
（3）若·Q的半徑為1，圓心Q在拋物線上運動，當·Q與軸相切時，求·Q上的點到點B的最短距離．

Answer 1

（1）A（1，0），B（0，－4）；（2）P₁（0，4），P₂（0，－），P₃（0，－4－）；
（3）－1

試題分析：（1）將C代入＝－＋5＋即可求得拋物線的解折式，再把＝0與＝0代入求得的拋物線的解折式即可求得結果；
（2）先根據題意作出圖形，再根據等腰三角形的性質結合勾股定理求解即可；
（3）由題意當Q的橫坐標為1或－1時成立，再代入拋物線解析式即可求得點Q的坐標，連Q₁B（即AB），交⊙Q₁于M. 連Q₂B，交⊙Q₂于N，MB和NB即為所求.
（1）將C代入拋物線的解折式得：0＝－4²＋5×4＋，＝－4，所以＝－²＋5－4
令＝0，則－²＋5－4＝0，解得₁＝4， ₂＝1，所以A（1，0）
令＝0，則＝－0²＋5×0－4＝－4，所以B（0，－4）；
（2）如圖，P點有三個.

P₁（0，4）
令∣P₂B∣＝. 則∣0P₂∣＝4－
∣P₂A∣²＝∣0P₂∣²＋∣0A∣²＝（4－）²＋1²＝²，解得＝
P₂（0，－）
∣BP₃∣＝AB＝＋＝
P₃（0，－4－）；
（3）當Q的橫坐標為1或－1時成立
＝－1²＋5×1－4＝0.  Q₁（1，0）
＝－（－1）²＋5×（－1）－4＝－10，Q₂（－1，－10）
連Q₁B（即AB），交⊙Q₁于M. 連Q₂B，交⊙Q₂于N，MB和NB即為所求
MB＝Q₁B－Q₁M＝AB－QM＝－1 
NB＝Q₂B－Q₂N＝－1＝－1.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．