Question

如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），以E為頂點(diǎn)作，射線ET交線段OB于點(diǎn)F.

(1) 求出此拋物線函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出直線BC的解析式；
(2)求證：；
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(4)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以點(diǎn)A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）y=x²－x－3 （2）通過角的等量代換證明角相等（3）或者
（4）M為

試題分析：解：（1）OC=3OA=3
∴C為（0，－3）
∵拋物線過（－1，0）和（0，－3）


∴y=x²－x－3
BC：y=x－3
（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF＋∠BEF=∠COE＋∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE．
（3）①∵∠OFE=∠BEF＋∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②當(dāng)OE=EF時(shí)，
∠BEF=∠COE，∠OCE=∠EBF
∴△COE≌△BEF（AAS）
∴BE=CO=3．
過E作ED ⊥x軸于D．



③當(dāng)OF=EF時(shí)，則∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E為BC的中點(diǎn)，∴E為．
（4）對(duì)稱軸為x=1，
∴P為（1，－2）．
①AP為邊，
此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2或－2，
令x²－2x－3=2
即x²－2x－5=0


故
令x²－2x－3=－2
即x²－2x－1=0

或
故或
②AP為對(duì)角線，
設(shè)M為（x，0）
則N為（－x，－2）
∴x²＋2x－3=－2
x²＋2x－1=0


綜上所述：M為．
點(diǎn)評(píng)：該題較為復(fù)雜，主要考查學(xué)生對(duì)求二次函數(shù)解析式方法的掌握，以及在直角坐標(biāo)系中分析函數(shù)與直線所都成幾何圖形點(diǎn)的坐標(biāo)，需要考慮全面，分點(diǎn)論述。