Question

【題目】在平面直角坐際系xOy中，當m，n滿足mn=k（k為常數，且m＞0，n＞0）時，就稱點（m，n）為“等積點”．
（1）若k=4，求函數y=x﹣4的圖象上滿足條件的，“等積點”坐標；
（2）若直線y=﹣x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，并且直線有且只有一個“等積點”，過點A與y軸平行的直線和過點B與x軸平行的直線交于點C，點E是直線AC上的“等積點”，點F是直線BC上的“等積點”，若△OEF的面積為k2+ k﹣ ，求EF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設“等積點”坐標為（m，n），則有 解得 或 （舍棄），

∴“等積點”坐標為（2 +2，2 ﹣2）

（2）

解：如圖，由題意“等積點”在反比例函數y= 圖象上，

∵直線y=﹣x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，并且直線有且只有一個“等積點”，

∴“等積點”M的坐標為（ ， ），B（0，2 ），A（2 ，0），E（2 ， ），F（ ，2 ），

∵△OEF的面積=S正方形AOBC﹣2S△AOE﹣S△EFC=k2+ k﹣ ，

∴k2+ k﹣ =4k﹣k﹣ k，

解得k=1或﹣ （舍棄），

∴E（2， ），F（ ，2），

∴EF= =

【解析】（1）設“等積點”坐標為（m，n），則有 解方程組即可．（2）如圖，由題意“等積點”在反比例函數y= 圖象上，直線y=﹣x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，并且直線有且只有一個“等積點”，所以“等積點”M的坐標為（ ， ），B（0，2 ），A（2 ，0），E（2 ， ），F（ ，2 ），根據△OEF的面積=S正方形AOBC﹣2S△AOE﹣S△EFC=k2+ k﹣ ，列出方程即可解決問題．
【考點精析】掌握一次函數的性質和一次函數的概念是解答本題的根本，需要知道一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一般地，如果y=kx+b（k，b是常數，k不等于0），那么y叫做x的一次函數．