Question

【題目】綜合探究：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣ 與x軸交于點A（﹣6，0）和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，點P為線段AO上的一個動點，過點P作x軸的垂線l與拋物線交于點E，連接AE，EC．

（1）求拋物線的表達式及點C的坐標；
（2）連接AC交直線l于點D，則在點P運動過程中，當點D為EP中點時，S△ADP：S△CDE=；
（3）如圖2，當EC∥x軸時，點P停止運動，此時，在拋物線上是否存在點G，使得以點A，E，G為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點G的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（﹣6，0）在拋物線y=﹣ x2+bx+8上，

∴0=﹣ （﹣6）2+b（﹣6）+8，

∴b=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+8，

令x=0，y=8，

∴C（0，8）

（2）1：2
（3）

解：存在點G使得以點A，E，G為頂點的三角形為直角三角形，

連接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x軸，

∵EC∥x軸，

∴EP=CO=8，

把y=8代入y=﹣ x2﹣ x+8，

∴8=﹣ x2﹣ x+8，

∴x=0（舍），或x=﹣2，

∴P（﹣2，0），

∴AP=AO﹣PO=4，

Ⅰ、如圖1，

當∠AEG=90°時，

∴∠MEG+∠AEP=90°，

∵∠AEP+∠EAP=90°，

∴∠MEG=∠EAP，

∵∠APE=∠EMG=90°，

∴△EMG∽△APE，

∴ ，

設點G（m，﹣ m2﹣ m+8）（m＞0），

∴GN=MP=﹣ m2﹣ m+8，

∴EM=EP﹣MP=8﹣（﹣ m2﹣ m+8）=y= m2+ m，

MG=PN=PO+ON=2+m，

∵ ，

∴ ，

∴m=﹣2（舍）或m= ，

∴G（ ， ）；

Ⅱ、如圖2，

當∠EAG=90°時，

∴∠NAG+∠EAP=90°，

∵∠AEP+∠EAP=90°，

∴∠NAG=∠AEP，

∵∠APE=∠GNA=90°，

∴△GNA∽△APE，

∴ ，

設點G（n，﹣ n2﹣ n+8）（n＞0，﹣ n2﹣ n+8＜0），

∴GN= m2+ m+8，

∴AN=AO+ON=6+n，

∵ ，

∴ ，

∴n=﹣6（舍），或n= ，

∴G（ ，﹣ ），

符合條件的G點的坐標為G（ ， ）或G（ ，﹣ ）

【解析】解：（2）設E（m，﹣ m2﹣ m+8），
∴P（m，0），
∵點D為EP中點，
∴DP=DE，D（m，﹣ m2+﹣ x+4），
∵A（﹣6，0），C（0，8），
∴直線AC解析式為y= x+8，
∵點D在直線AC上，
∴ m+8=﹣ m2+﹣ x+4，
∴m=﹣6（舍）或m=﹣4，
∴P（﹣4，0）
∴AP=2，OP=4，
∴ ；
所以答案是1：2（1）用待定系數法求出拋物線解析式，令x=0求出y軸交點坐標；（2）先確定出直線AC解析式為y= x+8，設出點E的坐標，表示出點D（m，﹣ m2+﹣ x+4），而點D在直線AC上，列出方程 m+8=﹣ m2+﹣ x+4，求出m，從而得出結論；（3）先求出點P的坐標，再分兩種情況計算Ⅰ、當∠AEG=90°時，判斷出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、當∠EAG=90°時，判斷出△GNA∽△APE，得到比例式計算．
【考點精析】掌握二次函數的概念和二次函數的圖象是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．