Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，點M是邊AB的中點，連結CM，點P從點C出發，以1cm/s的速度沿CB運動到點B停止，以PC為邊作正方形PCDE，點D落在線段AC上．設點P的運動時間為t（s）．
（1）當t=時，點E落在△MBC的邊上；
（2）以E為圓心，1cm為半徑作圓E，則當t=時，圓E與直線AB或直線CM相切．

Answer 1

【答案】
（1）
（2） ； ；5
【解析】解：（1）如圖1，∵四邊形PCDE是正方形，
∴DP∥AC，
∴ = ，
即 = ，
解得t= ；（2）如圖2，當點E在△ABC的內部時，圓E與直線AB相切，EF⊥
AB，且EF=1時，

連接AE、BE、CE，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
×AB×EF+ + ×BC×EP= ×AC×BC，
×10×1+ ×8×t+ ×6×t= ×8×6，
解得t= ；
如圖3，當點E在△ABC的外部時，圓E與直線AB相切，EG⊥AB，且EG=1時，

∵∠EGH=∠BPH，∠EHG=∠BHP，
∴∠GEH=∠PBH，
∴cos∠GEH=cos∠ABC= = ，又EG=1，
∴EH= ，
∵ = ，∴HP= ，
則 + =t，
解得t= ；
如圖4，當圓E與直線CM相切時，EN=1，

作MR∥BC，則MR= BC=3，CR= AC=4，
∵點M是邊AB的中點，
∴CM= AB=5，
tan∠ACM= = ，
∴ = ，CD=t，
則QD= t，EQ= t，
∵∠NEQ=∠ACM，
∴ = = ，
解得t=5．