Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，點O為Rt△ABC內一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，則OA+OB+OC= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC= ， ∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，
∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C= = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
所以答案是： ．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用等邊三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．