Question

【題目】拋物線經過點A（﹣1，0）和B（2，0），直線y＝x+m經過點A和拋物線的另一個交點為C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）動點P、Q從點A出發，分別沿線段AC和射線AO運動，運動的速度分別是每秒4個單位長度和3個單位長度．連接PQ，設運動時間為t秒，△APQ的面積為s，求s與t的函數關系式．（不寫t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，線段PQ交拋物線于點D，點E在線段AP上，且AE＝AQ，連接ED，過點D作DF⊥DE交x軸于點F，當DF＝DE時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝3；（3）點F坐標為（1，0）

【解析】

（1）利用點A、B坐標，用待定系數法即求得解析式．
（2）根據題意畫出PQ，易得以AQ為底來求△APQ面積較容易，故過點P作x軸的垂線PH．利用相似△對應邊的比相等，用t表示PH，則寫出s與t的關系式．
（3）由DE⊥DF且DF=DE聯想到構造相似三角形，故過點D作MN⊥x軸于點N，過點E作EM⊥MN于點M構造△NDF∽△MED，相似比為．設D（d，），F（f，0），再有E的坐標可用t表示，則兩相似三角形的邊都能用d、t、f表示，且根據相似比為列得兩個方程．又由P、Q坐標求得直線PQ的解析式（含t），點D在直線PQ上又滿足解析式，列得第三個方程．解三元方程組，即求得f．

（1）∵拋物線經過點A（﹣1，0）和B（2，0），

∴ 解得：

∴拋物線的解析式為 .

（2）設AC與y軸交點為G，過點P作PH⊥x軸于點H，

依題意得：AP＝4t，AQ＝3t

∵直線AC：y＝x+m經過點A（﹣1，0）

∴-+m＝0，得m＝

∴直線AC解析式為：y＝x+

∴G（0，），OG＝

∴AG＝=2

∵GO∥PH

∴△AGO∽△APH

∴=

∴PH＝= =2t

∴s＝AQPH＝t=3

（3）過點D作MN⊥x軸于點N，過點E作EM⊥MN于點M，作ER⊥x軸于點R

∴四邊形EMNR是矩形，△AGO∽△AER

∴==

∵AE＝AQ＝3t，AG＝2，GO＝，AO＝1

∴MN＝ER＝t，AR＝

∴E（﹣1+，t）

設點D（d，），F（f，0）

∴EM＝d﹣（﹣1+）＝d+1﹣，MD＝t-，DN＝，FN＝d﹣f

∵DE⊥DF

∴∠EMD＝∠EDF＝∠DNF＝90°

∴∠MED+∠MDE＝∠MDE+∠NDF＝90°

∴∠NDF＝∠MED

∴△NDF∽△MED

∴ = = =

∴DN＝EM，FN＝MD

∴=(d+1-)①

d﹣f＝[-()]②

∵P（﹣1+2t，2t），Q（﹣1+3t，0）

∴直線PQ解析式為：y＝﹣2x+6t﹣2

∵點D為PQ與拋物線交點

∴﹣2d+6t﹣2=③

把①③聯立方程組解得： ,（舍去）

∴由②得：f＝+d--t＝1

∴點F坐標為（1，0）