Question

【題目】在平面直角坐標系中，函數y1=ax+b（a、b為常數，且ab≠0）的圖象如圖所示，y2=bx+a，設y=y1·y2.

（1）當b=-2a時，

①若點（1,4）在函數y的圖象上，求函數y的表達式；

②若點（x1，p）和（x2，q）在函數y的圖象上，且，比較p，q的大小;

（2）若函數y的圖象與x軸交于（m，0）和（n，0）兩點，求證：m=.

Answer 1

【答案】（1） ①y=（-2x+4）（4x-2）；②p＞q;（2）見解析.

【解析】

（1）①由題意可得y=（ax+b）（bx+a），把b=-2a與點（1,4）分別代入求得a的值，即可得到答案；

②令（ax-2a）（-2ax+a）=0，求得x的兩個值，進而得到二次函數圖象的對稱軸為直線x=，再根據拋物線的性質即可判斷p，q的大小關系；

（2）令（ax+b）（bx+a）=0，解得x1=-，x2=-，即mn=1，整理即可得解.

解：(1)y=（ax+b）（bx+a），

當b=-2a時，y=（ax-2a）（-2ax+a）

①把（1,4）代入，得，a2=4

由題意可知，a＜0，則a=-2，

∴y=（-2x+4）（4x-2）；

②令（ax-2a）（-2ax+a）=0，

得x1=2，x2=,

∴二次函數y的對稱軸為直線x=，

∵，

∴點（x1，p）離對稱軸較近，且拋物線y開口向下

所以p＞q,

(3)令（ax+b）（bx+a）=0，

得，x1=-，x2=-，

∴mn=1，

∴m=.