【題目】（本小題滿分10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交于點H，連接BD、FH．
（1）求證：△ABC≌△EBF；
（2）試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若AB=1，求HGHB的值．
【答案】（1）證明見試題解析；（2）相切，理由見試題解析；（3）
．
【解析】
試題（1）由∠ABC=90°和FD⊥AC，得到∠ABF=∠EBF，由∠DEC=∠BEF，得到∠DCE=∠EFB，從而得到△ABC≌△EBF（ASA）；
（2）BD與⊙O相切．連接OB，只需證明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB⊥BD，從而有BD與⊙O相切；
（3）連接EA，EH，由DF為線段AC的垂直平分線，得到AE=CE，由△ABC≌△EBF，得到AB=BE=1，進而得到CE=AE=
，故
，即可得出結論
，
又因為BH為角平分線，易證△EHF為等腰直角三角形，故
，得到
，再由△GHF∽△FHB，得到
．
試題解析：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD⊥AC，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF，∵∠DEC=∠BEF，∴∠DCE=∠EFB，∵BC=BF，∴△ABC≌△EBF（ASA）；
（2）BD與⊙O相切．理由：連接OB，∵DF是AC的垂直平分線，∴AD=DC，∴BD=CD，∴∠DCE=∠DBE，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠DCE=∠EFB，∴∠DBE=∠OBF，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB⊥BD，∴BD與⊙O相切；
（3）連接EA，EH，∵DF為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，∵△ABC≌△EBF，∴AB=BE=1，∴CE=AE=，∴，∴
，又∵BH為角平分線，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF為等腰直角三角形，∴，∴，∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF，∴△GHF∽△FHB，∴
，∴，∴
．
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線
經過B、C兩點，頂點D在正方形內部．
（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線 ;
（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；
（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于y軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某商店銷售一種商品，經市場調査發現，該商品的周銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數．其售價、周銷售量、周銷售利潤w（元）的三組對應值如表：
售價x（元/件） | 50 | 60 | 80 |
周銷售量y（件） | 100 | 80 | 40 |
周銷售利潤w（元） | 1000 | 1600 | 1600 |
注：周銷售利潤＝周銷售量×（售價﹣進價）
（1）求y關于x的函數解析式_____；
（2）當售價是_____元/件時，周銷售利潤最大．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝m，E為BC邊上的動點，連結AE，作點B關于直線AE的對稱點F．
（1）若m＝6，①當點F恰好落在∠BCD的平分線上時，求BE的長；
②當E、C重合時，求點F到直線BC的距離；
（2）當點F到直線BC的距離d滿足條件：2
﹣2≤d≤2+4，求m的取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線y=
x2+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P時直線AC下方拋物線上的動點．
（1）求拋物線的解析式；（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；
（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】數學活動：
問題情境：有這樣一個問題：探究函數
的圖象與性質，小明根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究．
問題解決：下面是小明的探究過程，請補充完整：
（1）函數的自變量
的取值范圍是 ；
（2）表是
與的幾組對應值．
| … | -4 | -3 | -2 | -1 |
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| … |
|
|
| 0 | -1 | 3 | 2 |
|
|
| … |
求
的值；
（3）如圖，在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點，畫出該函數的圖象．
（4）結合函數的圖象，寫出該函數的性質（兩條即可）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（7分）某中學1000名學生參加了”環保知識競賽“，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取整數，滿分為100分）作為樣本進行統計，并制作了如圖頻數分布表和頻數分布直方圖（不完整且局部污損，其中“■”表示被污損的數據）．請解答下列問題：
成績分組 | 頻數 | 頻率 |
50≤x＜60 | 8 | 0.16 |
60≤x＜70 | 12 | a |
70≤x＜80 | ■ | 0.5 |
80≤x＜90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合計 | ■ | 1 |
（1）寫出a，b，c的值；
（2）請估計這1000名學生中有多少人的競賽成績不低于70分；
（3）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取兩名同學參加環保知識宣傳活動，求所抽取的2名同學來自同一組的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為倡導“低碳生活”，常選擇以自行車作為代步工具．如圖1所示是一輛自行車的實物圖，車架檔AC與CD的長分別為45cm，60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm，車輪半徑28cm，點A，C，E在同一條直線上，且∠CAB=75°，如圖2
圖1 圖2
（1）求車座點E到地面的距離；（結果精確到1cm）
（2）求車把點D到車架檔直線AB的距離．（結果精確到1cm）．
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