Question

【題目】閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．

（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線 ;

（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

Answer 1

【答案】（1）y=n，x=m，y=-x+m+n，y=x-m+n；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)特征線的定義以及性質(zhì)直接求出點(diǎn)D的特征線；

（2）由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；

（3）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）∵點(diǎn)D

∴D的特征線是

（2）∵點(diǎn)D有一條特征線是

∴

∴

∵拋物線的解析式為

∴

∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱軸，

∴

∴

∴

將代入中

解得

∴拋物線的解析式為

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)

根據(jù)題意可得

∴

∴

∴

∴

∴拋物線需要向下平移的距離

②如圖，當(dāng)點(diǎn)在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，設(shè)

則

∴

設(shè)

在中，

解得

∴

∴直線OP解析式為

∴

∴拋物線需要向下平移的距離

即拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．