Question

16．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點P為△ABC內一點．

（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應點分別為點D，A，E，連接CE．
①依題意，請在圖2中補全圖形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長．
（2）如圖3，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，那么就將PA+PB+PC的值轉化為CP+PM+MN的值，連接CN，當點P落在CN上時，此題可解．
請你參考小慧的思路，在圖3中證明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接寫出當AC=BC=4時，PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）①連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應點分別為點D，A，E，連接CE，據此畫圖即可；②連接BD、CD，構造矩形ACBD和Rt△CDE，根據矩形的對角線相等以及勾股定理進行計算，即可求得CE的長；
（2）以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN．根據△PAM、△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN，最后根據當C、P、M、N四點共線時，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，進而求得PA+PB+PC的最小值．

解答 解：（1）①補全圖形如圖所示；

②如圖，連接BD、CD

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，
∴BC∥AD且BC=AD，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形BCAD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵BP=3，
∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，
∴DE⊥CE，
∴在Rt△DCE中，CE=$\sqrt{C{D^2}-D{E^2}}$=$\sqrt{36-9}$=$\sqrt{27}$=$3\sqrt{3}$；

（2）證明：如圖所示，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN．

由旋轉可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
當AC=BC=4時，AB=4$\sqrt{2}$，
當C、P、M、N四點共線時，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$=CQ，NQ=$\sqrt{3}$AQ=2$\sqrt{6}$，
∴此時CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=$2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉和平移的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形和全等三角形，依據圖形的性質進行計算求解．