Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為 ，數量關系為 ．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①CF與BD位置關系是垂 直、數量關系是相 等；

②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．

由正方形ADEF得 AD="AF" ，∠DAF=90．

∵∠BAC=90，∴∠DAF="∠BAC" ， ∴∠DAB=∠FAC，

又AB="AC" ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　

∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90， AB="AC" ，∴∠ABC=45，∴∠ACF=45，

∴∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90．即 CF⊥BD

（2）畫圖正確　　　　　　　

當∠BCA=45時，CF⊥BD（如圖丁）．

理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45

∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90． 即CF⊥BD

（3）當具備∠BCA=45時，

過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45，可求出AQ= CQ=4．設CD="x" ，∴ DQ=4—x，

容易說明△AQD∽△DCP，∴， ∴，

．

∵0＜x≤3 ∴當x=2時，CP有最大值1．

【解析】

（1）首先選擇圖2證明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四邊形ADEF是正方形，易證得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，證得CF⊥BD；

（2）過點A作AG⊥AC交BC于點G，可證△GAD≌△CAF，則∠ACF=∠AGD=45，從而得∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90， 即CF⊥BD。

（3）首先作輔助線：過點A作AG⊥BC，垂足為G，連接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得：AGCP=GDDC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，設GD=x，即可求得CP關于x的二次函數，求得最大值．