Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系中，點在軸上，點、在軸上，，，，點的坐標是，

（1）求三個頂點、、的坐標；

（2）連接、，并用含字母的式子表示的面積（）；

（3）在（2）問的條件下，是否存在點，使的面積等于的面積？如果存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）；（2）2a-4或4-2a，詳見解析；（3）存在，點P的坐標為（-6，12）或（-6，-8）

【解析】

（1）根據三角形面積公式得到OA2=8，解得OA=4，則OB=OA=4，OC=BC-OB=6，然后根據坐標軸上點的坐標特征寫出△ABC三個頂點的坐標；
（2）分類討論：當點P在在直線AB上方即a＞2；當點P在直線AB下方，即a＜2；利用面積的和與差求解；
（3）先計算出S△ABC=20，利用（2）中的結果得到方程，然后分別求出a的值，從而確定P點坐標．

解：（1）∵S△ABO=OA×OB，
∵OA=OB，

∴OA2=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=10-4=6，
∴A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）；
（2）當點P在第二象限，直線AB的上方，即a＞2，作PH⊥y軸于H，如圖，

S△PAB=S△AOB+S梯形BOHP-S△PAH=8+（4+6）×a-×6×（a+4）=2a-4；
當點P在直線AB下方，即a＜2，作PH⊥x軸于H，如圖，

S△PAB=S梯形OHPA-S△PBH-S△OAB=（-a+4）×6-×（6-4）×（-a）-8=4-2a；

（3）S△ABC=×10×4=20，
當2a-4=20，
解得a=12．
此時P點坐標為（-6，12）；
當4-2a=20，
解得a=-8．
此時P點坐標為（-6，-8）．
綜上所述，點P的坐標為（-6，12）或（-6，-8）．