Question

【題目】在中，垂直平分，分別交、于點、，垂直平分，分別交，于點、．

（1）請判斷△ANE的周長與AB+AC的和的大小,并說明理由.

（2）①如圖①，若∠B=34°，∠C=28°，求的度數為______；

②如圖②，若，則的度數為________；

③若，則的度數為________.

Answer 1

【答案】（1）△ANE的周長<AB+BC；（2）①56°；②16°；③當0°＜α＜90°時，∠EAN=180°-2α；當180°＞α＞90°時，∠EAN=2α-180°

【解析】

（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，AN=CN,則△ANE的周長等于BE+EN+AN；

（2）①根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用外角和公式求出∠EAN=180°-2∠B-2∠C，即可求解；

②根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，再根據∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入數據進行計算即可得解；
③根據前兩問的求解方法，分0°＜α＜90°與180°＞α＞90°兩種情況解答．

解：（1）△ANE的周長<AB+BC，理由如下

∵DE垂直平分AB，垂直平分
∴AE=BE，AN=CN

又∵△ANE的周長=AE+EN+AN

∴△ANE的周長=AE+EN+AN=BE+EN+CN=BC

∴△ANE的周長<AB+BC

（2）①∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，

在三角形AEN中，
∴∠EAN=180°-∠AEN-∠ANE，

又∵∠AEN=∠B+∠BAE, ∠ANE=∠C+∠CAN
∴∠EAN=180°-2∠B-2∠C=56°；

②∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC，
=（∠B+∠C）-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；
③∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC，
=（∠B+∠C）-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC= -α=180°-2α

∴當0°＜α＜90°時，∠EAN=180°-2α；
當180°＞α＞90°時，∠EAN=2α-180°．