Question

【題目】 如圖，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，

∴OD⊥BC，

又∵AC⊥BC，

∴OD∥AC，

∴∠2=∠3；

∵OA=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

∴AD平分∠BAC

（2）解：∵BC與圓相切于點D．

∴BD2=BEBA，

∵BE=2，BD=4，

∴BA=8，

∴AE=AB﹣BE=6，

∴⊙O的半徑為3

【解析】（1）先連接OD，再由OD⊥BC和AC⊥BC可知OD∥AC從而得證；（2）利用切割線定理可先求出AB，進而求出圓的直徑，半徑則可求出．
【考點精析】利用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．