Question

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內，AB與y軸的正半軸交與點E，已知點B（﹣1，0）．
（1）點A的坐標： ， 點E的坐標：；
（2）若二次函數y=﹣ x2+bx+c過點A、E，求此二次函數的解析式；
（3）P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合）連結PB、PD，設l是△PBD的周長，當l取最小值時，求點P的坐標及l的最小值并判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

Answer 1

【答案】
（1）（1，2 ）；（0， ）
（2）

解：因為拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A、E，

由待定系數法得：c= ，b= ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+

（3）

解：作點D關于AC的對稱點D'，

連接BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長L取最小值，如圖2

．

∵D、D′關于直線AC對稱，

∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，

DF= ，DD'=2 ，

求得點D'的坐標為（4， ），

直線BD'的解析式為：y= x+ ，

直線AC的解析式為：y=﹣ x+3 ，

求直線BD'與AC的交點可，得

點P的坐標（ ， ）．

此時BD'= = =2 ，

所以△PBD的最小周長L為2 +2，

把點P的坐標代入y=﹣ + x+ 成立，

所以此時點P在拋物線上．

【解析】解：（1）連接AD，如圖1
，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，又B的坐標為（﹣1，0），BC在x軸上，A在第一象限，
∴點C在x軸的正半軸上，
∴C的坐標為（3，0），由中點坐標公式，得：D的坐標為（1，0）．
顯然AD⊥BC且AD= BD=2 ，
∴A的坐標是（1，2 ）．
OE= AD，得E（0， ）；
（1）△ABC是邊長為4的等邊三角形，則BC=4，而點D為BC的中點，BD=2，點B（﹣1，0），則OD=1，就可以求出A的橫坐標，等邊三角形的高線長，就是A的縱坐標．在直角三角形OBE中，根據三角函數可以求出OE的長，即得到E點的縱坐標．（2）已經求出A，E的坐標，根據待定系數法就可以求出函數的解析式．（3）先作點D關于AC的對稱點D'，連接BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長L取最小值．根據三角函數求的D′的坐標，再求出直線BD′的解析式，以及直線AC的解析式，兩直線的交點就是P的坐標．把點P的坐標代入二次函數的解析式，就可以判斷是否在函數的圖象上．