Question

18．如圖①，把△ABC沿著DE折疊，頂點A恰好落在BC邊的點F處，且DE∥BC，連接EF，過點D作DG∥EF交BC于點G．
（1）求證：EF=EC；
（2）如圖②，若AB=10，BC=12，AC=8，點P在AD上，且AP=3.2．
①求BG的長；
②求證：∠AEP=∠B．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質得到一對角相等，再由DE與BC平行，得到一對同位角相等，一對內錯角相等，等量代換得到∠EFC=∠C，利用等角對等邊即可得證；
（2）①連接AF，交DE于點O，如圖②所示，由折疊的性質得到AF⊥DE，AO=OF，由DE與BC平行，得到AF與BC垂直，三角形ADE與三角形ABC相似，由相似得比例，根據AB，AC，BC的長求出AD，AE，DE的長，再由DG與EF平行，得到四邊形DEFG為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等，得到GF=DE=6，設BG=x，表示出CF與BF，在直角三角形ABF與直角三角形ACF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為BG的長；
②由DE平行于BC，得到一對同位角相等，根據AP的長，求出DP，BD，DE，BG的長，得到兩邊對應成比例且夾角相等，進而確定出三角形DEP與三角形BDG相似，利用相似三角形對應角相等得到∠DEP=∠BDG，利用兩直線平行同位角、內錯角相等得到∠DGC=∠EFC=∠AED，利用外角相等及等式的性質變形即可得證．

解答 （1）解：由折疊性質可得：∠AED=∠DEF，
∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，∠AED=∠C，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC；
（2）解：①連接AF，交DE于點O，如圖②所示，

由折疊得到AF⊥DE，AO=OF，
∵DE∥BC，
∴AF⊥BC，△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AO}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=10，AC=8，BC=12，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，AE=$\frac{1}{2}$AC=4，DE=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵DG∥EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，GF=DE=6，
設BG=x，則CF=BC-GF-BG=12-6-x=6-x，BF=BG+GF=6+x，
在Rt△ABF和Rt△ACF中，由勾股定理得，AF²=AB²-BF²，AF²=AC²-CF²，
∴AB²-BF²=AC²-CF²，即10²-（6+x）²=8²-（6-x）²，
解得：x=1.5，
∴BG的長為1.5；
②證明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
在△DEP和△BDG中，DP=1.8，DE=6，BG=1.5，BD=5，
又∵AP=3.2，
∴DP=AD-AP=1.8，
∵$\frac{1.8}{1.5}$=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{DP}{BG}$=$\frac{DE}{BD}$，
∴△DEP∽△BDG（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似），
∴∠DEP=∠BDG（相似三角形對應角相等），
∵DG∥EF，
∴∠DGC=∠EFC=∠AED，
∴∠B+∠BDG=∠AEP+∠DEP，
∵∠DEP=∠BDG，
∴∠AEP=∠B．

點評 此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：平行線的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，折疊的性質，以及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．