Question

如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．

求證：（1）∠EDC=∠ECD;
（2）OC=OD;
（3）OE是線段CD的垂直平分線.

Answer 1

（1）證明見解析;（2）證明見解析;（3）證明見解析.

試題分析：（1）要想證明∠EDC=∠ECD,只要證明DE=CE,由題, 點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，由角平分線上的點到兩邊的距離相等得DE=CE;（2）要想證明OC=OD,只要證明∠ODC=∠OCD,由題因為EC⊥OA，ED⊥OB，所以∠ODE=∠OCE=90°,由(1)知∠EDC=∠ECD,所以∠ODE-∠EDC =∠OCE
-∠ECD,即∠ODC=∠OCD;（3）因為點E是∠AOB的平分線上一點，OC=OD,所以OE既是CD邊上的高,也是CD邊上的中線,所以OE是CD的垂直平分線.
試題解析：（1）由題, 點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，
∵角平分線上的點到兩邊的距離相等,
∴DE=CE;
（2）由題∵EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠ODE=∠OCE=90°,
由(1)知∠EDC=∠ECD,
∴∠ODE-∠EDC =∠OCE-∠ECD,
即∠ODC=∠OCD;
（3）∵點E是∠AOB的平分線上一點，OC=OD,
∴OE既是CD邊上的高,也是CD邊上的中線,
∴OE是CD的垂直平分線.