Question

如圖，在△ABC中，點D,E,F分別在BC,AB,AC 邊上，且DE∥AC，DF∥AB．

（1）如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是          形；
（2）如果AD是△ABC的角平分線，那么四邊形AEDF是        形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分線，那么四邊形AEDF是            形，證明你的結論(僅需證明第⑶題結論)．

Answer 1

（1）矩形,證明見解析;（2）菱形,證明見解析;（3）正方形,證明見解析;

試題分析：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形,由題,因為DE∥AC，DF∥AB,所以四邊形AEDF是平行四邊形,又因為∠BAC=90°，所以四邊形AEDF是矩形;（2）鄰邊相等的平行四邊形是菱形,由(1)知四邊形AEDF是平行四邊形,因為AD是△ABC的角平分線，所以∠EAD=∠FAD,又因為DF∥AB,所以∠EAD=∠ADF,所以∠EAD=∠ADF,所以AF=FD,所以四邊形AEDF是菱形;（3）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形,由(1)知所以四邊形AEDF是矩形,由(2)知四邊形AEDF是菱形,所以四邊形AEDF正方形.
試題解析：（1）由題,∵DE∥AC，DF∥AB,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
又∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是矩形;
（2）由(1)知四邊形AEDF是平行四邊形,
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD,
又∵DF∥AB,
∴∠EAD=∠ADF,
∴∠EAD=∠ADF,
∴AF=FD,
∴四邊形AEDF是菱形;
（3）由(1)知四邊形AEDF是矩形,
由(2)知四邊形AEDF是菱形,
∴四邊形AEDF正方形.