Question

【題目】如圖，直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)△BEC面積最大時，請求出點E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？
（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標(biāo)是（0，3），點C的坐標(biāo)是（4，0），

∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，

∴

解得

∴y=.

（2）

解：如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，

∴設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，），

則點M的坐標(biāo)是（x，x+3），

∴EM=﹣（+3）=x2+x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC

=

=×（）×4

=x2+3x

=（x﹣2）2+3，

∴當(dāng)x=2時，即點E的坐標(biāo)是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）

解：在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，

，

由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2，

∵點M在直線y=x+3上，

∴點M的坐標(biāo)是（2， ），

又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直線的斜率是： = ；

∵y= x2+ x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)是（1，m），點P的坐標(biāo)是（x， x2+ x+3），則:

解得或

∵x＜0，

∴點P的坐標(biāo)是（﹣3， ）．

②如圖3，

，

由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2，

∵點M在直線y=x+3上，

∴點M的坐標(biāo)是（2， ），

又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直線的斜率是： = ；

∵y= x2+ x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)是（1，m），點P的坐標(biāo)是（x， x2+ x+3），則:

解得或

∵x＞0，

∴點P的坐標(biāo)是（5， ）．

③如圖4，

，

由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2，

∵點M在直線y=x+3上，

∴點M的坐標(biāo)是（2， ），

又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直線的斜率是： = ；

∵y= x2+ x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)是（1，m），點P的坐標(biāo)是（x， x2+ x+3），則:

解得

∴點P的坐標(biāo)是（﹣1， ）．

綜上，可得

在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，

點P的坐標(biāo)是（﹣3，）、（5，）、（﹣1， ）．

【解析】（1）首先根據(jù)直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標(biāo)是（0，3），點C的坐標(biāo)是（4，0）；然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，求出a\c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．
（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC ， 進(jìn)而判斷出當(dāng)△BEC面積最大時，點E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值各是多少即可．
（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標(biāo)是多少即可．
【考點精析】利用二次函數(shù)的最值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．