Question

一張長方形紙片，剪下一個正方形，剩下一個長方形，稱為第一次操作；在剩下的長方形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個長方形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的圖形為正方形，則稱原圖形為n階奇異長方形．如圖1，長方形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱形ABCD為2階奇異長方形．如圖2，長方形ABCD中，若AB=2，BC=8，則稱形ABCD為3階奇異長方形．

（1）判斷與操作：
如圖3，長方形ABCD長為5，寬為2，它是奇異長方形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異長方形，并在圖中畫出裁剪線，并標出數據；如果不是，請說明理由．
（2）探究與計算：
已知長方形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異長方形，請畫出長方形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．
（3）歸納與拓展：
已知長方形ABCD兩鄰邊的長分別為b，c（b＜c），且它是4階奇異長方形，求b：c（請畫出長方形ABCD并在圖下標出b：c的比值）

Answer 1

考點：圖形的剪拼

專題：

分析：（1）根據已知操作步驟畫出即可；
（2）根據已知得出符合條件的有4種情況，畫出圖形即可；
（3）根據題意得出第1次操作前短邊與長邊之值為

1

5

，

4

5

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

3

8

，

5

8

，最終得出長邊和短邊的比是2：1，即可進行操作后得出正方形．

解答：解：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：


（2）裁剪線的示意圖如下：


（3）b：c的值為

1

5

，

4

5

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

3

8

，

5

8

，
規律如下：第4次操作前短邊與長邊之比為：

1

2

；
第3次操作前短邊與長邊之比為：

1

3

，

2

3

；
第2次操作前短邊與長邊之比為：

1

4

，

3

4

，

2

5

，

3

5

；
第1次操作前短邊與長邊之比為：

1

5

，

4

5

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

3

8

，

5

8

．

點評：此題主要考查了新定義的操作探究性，動手實踐．操作畫圖，尋找規律，主要考查學生的變換能力和了解能力，注意：要進行分類討論．