Question

已知：如圖，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA為半徑作⊙O，BC切⊙O于點C，連接AC交OB于點P．
（1）求證：BP=BC；
（2）若sin∠PAO=

1

3

，且PC=7，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,銳角三角函數的定義

專題：壓軸題

分析：（1）連接OC，由切線的性質，可得∠OCB=90°，由OA=OC，得∠OCA=∠OAC，再由∠O=90°，根據等角的余角相等即可得出所要求證的結論；
（2）延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根據三角形函數和勾股定理，列方程解答．

解答：（1）證明：連接OC，
∵BC是⊙O切線，
∴∠OCB=90°，
∴∠OCA+∠BCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∠BOA=90°，
∴∠OAC+APO=90°，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠OAC+∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠BCA，
∴BC=BP．
（2）解：延長AO交⊙O于點E，連接CE，
在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=

1

3

，
設OP=x，AP=3x，則AO=2

2

x，
∵AO=OE，
∴OE=2

2

x，
∴AE=4

2

x，
∵sin∠PAO=

1

3

，
∴

CE

AE

=

1

3

，
∴

AC

AE

=

2 2

3

，
∴

3x+7

4 2 x

=

2 2

3

，
解得：x=3，
∴AO=6

2

．

點評：本題考查了切線的性質、三角函數、勾股定理等知識，解決問題的關鍵是根據三角函數的定義結合勾股定理列出方程．