Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是$\widehat{AC}$的中點，CD與BA的延長線交于E，BD與AC交于點F．
（1）求證：DC²=DF•DB；
（2）若AE=AO，CD=2，求ED的長．

Answer 1

分析 （1）由點D是$\widehat{AC}$的中點，得到∠ABD=∠CBD，等量代換得到∠ACD=∠CBD，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（2）連結OD，如圖，根據等腰三角形的性質得到∠OBD=∠ODB，等量代換得到∠ODB=∠CBD，根據平行線的判定得到OD∥BC，于是得到結論．

解答 （1）證明：∵點D是$\widehat{AC}$的中點，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠CBD，
∵∠BDC=∠CDF，
∴△CDF∽△BDC，
∴$\frac{DC}{DF}$=$\frac{DB}{DC}$，
即DC²=DF•DB；

（2）解：連結OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
而∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴$\frac{ED}{DC}$=$\frac{EO}{OB}$，
∵EA=AO=BO，
∴$\frac{ED}{2}$=$\frac{2}{1}$，
∴ED=4．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．