Question

【題目】已知AB是⊙O的一條弦，點C是優弧上一點．

（1）如圖①，若點P是弦AB與所圍成的弓形區域（不含弦AB與）內一點．求證：∠APB＞∠ACB；

（2）如圖①，若點P在弦AB上方，且滿足∠APB=∠ACB，則點P在上嗎？為什么？

（3）請在圖②中直接用陰影部分表示出在弦AB與所圍成的弓形區域內滿足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的點P所在的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）在，理由見解析；

（3）如圖見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意畫出相應的圖形，根據三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角，可以證明結論成立，本題得以解決；（2）點P在上，利用（1）的結論和同（1）的方法即可得出結論；（3）根據題意和第（1）問，可以畫出滿足∠ACB<∠APB<2∠ACB的點P所在的范圍，本題得以解決

試題解析：(1)證明：如下圖②所示，

延長AP交O于點Q，連接BQ.

則∠PQB=∠ACB，

∵∠APB為△PQB的一個外角，

∴∠APB>∠PQB，

即∠APB>∠ACB；

(2)點P在上，

理由：由(1)知,點P是弦AB與所圍成的弓形區域(不含弦AB與)內一點，∠APB>∠ACB，

同(1)的方法，點P在弦AB上半部分時，利用三角形的外角，得，∠APB<∠ACB，

∴點P在上，

(3)

連接AO，BO，延長BO，在BO的延長線上取一點P連接AP，

∵∠AOB是△APO的外角，

∴∠AOB>∠APB，

∵∠AOB是在O中劣弧AB所對的圓心角，∠ACB是O中劣弧AB所對的圓周角，

∴∠AOB=2∠ACB，

∴點P所在的范圍如下圖③所示，