Question

12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，AC=8，則⊙O的直徑AD的長度為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 連接CO，過O作OE⊥AC，根據垂徑定理可得AE=4，根據圓周角定理可得∠AOC=120°，進而可得∠1=30°，再根據直角三角形的性質可得AO=2EO，再利用勾股定理計算出AO長，進而可得AD長．

解答 解：連接CO，過O作OE⊥AC，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2=30°，
∵OE⊥AC，
∴EO=$\frac{1}{2}$AO，
設AO=x，則EO=$\frac{1}{2}$x，
∵AC=8，
∴AE=4，
∵AO²=AE²+EO²，
∴x²=4²+（$\frac{1}{2}$x）²，
解得：x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質，關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方；在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．