Question

【題目】綜合與探究：

（1）操作發現：如圖1，在中，為銳角，為射線上一動點，連接，以為直角邊且在的上方作等腰直角三角形.若，.當點在線段上時（與點不重合），你能發現與的數量關系和位置關系嗎？請直接寫出你發現的結論.

（2）類比與猜想：當點在線段的延長線上時，其余條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？請在圖2中畫出相應圖形并說明理由.

（3）深入探究：如圖3，若，，，點在線段上運動，請寫出與的位置關系并證明.

Answer 1

【答案】（1），.（2）成立，證明見解析；（3）.證明見解析

【解析】

（1）根據同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，

（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與（1）的思路相同求解即可；

（3）過點A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AC=AE，∠AED=45°，再根據同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△AED全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD．

解：∵，是等腰直角三角形，

∴，，

∴.

在和中，

，，，

∴，

∴，.

∵，，

∴，

∴，

∴.

（2）成立.

證明：如圖2，

∵，

∴，

即.

在和中，

，，，

∴，

∴，.

∵，，

∴，

∴，

∴.

（3）.

證明：如圖3，過點作交于.

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，.

∵，，

∴.

在和中，，，，

∴，

∴，

∴，

∴.