Question

15．已知拋物線y=a（x²-cx-2c²）（a＞0，c＞0）交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C．
（1）探究與猜想：
①探究：
取A（-1，0），則點B坐標為（2，0），a=1，則點C的坐標為（0，-2）；取A（-2，0），若a=1，則點B的坐標為（4，0）；
②猜想：
OB=2OA，當ac=1時，OC=OB，請取點A（-c，0）驗證你的猜想．
（2）如圖，點R（0，n）在y軸負半軸上，直線RB交拋物線于另一點D，直線RA交拋物線于E，若DR=DB，求點E的縱坐標m與n的關系式．

Answer 1

分析 先確定出點A，B，C的坐標；
（1）①將A的坐標代入，求出c即可得出點B的坐標，把a，c代入點C的坐標即可；
②直接求出OA，OB，找出OA，OB的關系，用OB=OC建立方程求出ac即可；
（3）利用DR=DB得出點D的坐標，而點D在拋物線上，即可得出R的坐標，進而求出直線AR的解析式即可得出點E的坐標即可．

解答 解：∵拋物線y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），
∴A（-c，0），B（2c，0），C（0，-2ac²），
（1）①當A（-1，0）時，∴-c=-1，
∴c=1，
∴2c=2，
∴B（2，0），
∵a=1，
∴-2ac²=-2×1×1=-2，
∴C（0，-2）；
當A（-2，0）時，∴-c=-2，
∴c=2，
∴2c=4，
∴B（4，0），
故答案為：（2，0），（0，-2），（4，0）；

②OB=2OA，ac=1時，OB=OC，
理由：∵A（-c，0），B（2c，0），
∴OA=c，OB=2c，
∴OB=2OA．
∵B（2c，0），C（0，-2ac²），
∴OB=2c，OC=2ac²，
∵OB=OC，
∴2c=2ac²，
∴ac=1，
故答案為：2，1；

（2）∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），
∴D（c，$\frac{1}{2}$n），
∵點D在拋物線y=a（x²-cx-2c²）上，
∴a（c²-c²-2c²）=$\frac{1}{2}$n，
∴n=-4ac²，
∴R（0，-4ac²），
∵A（-c，0），
∴直線AR的解析式為y=-4acx-4ac²①，
∵點E在拋物線y=a（x+c）（x-2c）②上，
聯立①②得，E（-2c，4ac²），
∴點E的縱坐標m=4ac²=-1×（-4ac²）=-n．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了因式分解，待定系數法，求直線和拋物線的交點坐標的方法，解本題的關鍵是把拋物線的解析式y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），利用了方程的思想求解問題，是一道簡單的題目．