Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）與y軸交于點A，與x軸交于點B、C(B在C的左側)

（1）求點A的坐標和對稱軸

（2）若∠ACB＝45°，求此拋物線的表達式；

（3）在（2）的條件下，對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小？若存在，求出P點坐標和△PAB的周長，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）A（0，-3）對稱軸x=1；（2）y=x2-2x-3；（3）P（1，-2），+

【解析】

（1）令x=0可求出點A坐標，根據對稱軸公式即可求出對稱軸；

（2）根據∠ACB＝45°可得，△AOC為等腰直角三角形，所以OA=OC，再根據A點坐標即可求出C點坐標，最后將C點坐標代入表達式求出m即可解答；

（3）根據B、C關于對稱軸對稱，所以連接AC，與對稱軸的交點即為P，根據A、C點坐標求出AC的表達式，據此可求出點P坐標，再根據A、B、C的坐標求周長即可.

解：（1）令x=0可得，y=－3，

∴A（0，－3），對稱軸，

故：A（0，－3），對稱軸x=1；

（2）∵∠ACB=45°，

∴△AOC為等腰直角三角形，

∴OA=OC，

由（1）知，A（0，－3），則OA=3,

∴C（3，0）

將點C 代入表達式得m=1，則y=x2－2x－3；

（3）如圖，點B與點C關于對稱軸對稱，

∴連接AC交對稱軸于點P， 此時PA+PB最小，最小值為AC，

∴AC+AB即為周長最小值，

根據A（0，－3），C（3，0），求得AC表達式為：y=x－3，AC=

將x=1代入y=x－3得，y=－2，則P（1，－2），

∵C（3，0），且B、C關于對稱軸x=1對稱，

∴B（－1，0）

∴AB=，

∴周長為：.