Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線與雙曲線相交于A(2，3)，B兩點，P是第一象限內的雙曲線上在意一點，直線PA交x軸于點M，連接PB交x軸于點N，若∠APN = 90°，則PM的長為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

過P作直線PE⊥x軸于點E，過點A作AC⊥PE于點C，過點B作BD⊥PE于點D，先用待定系數法求出兩個函數的解析式，再求得B點坐標，然后證明△ACP∽△PDB，運用相似三角形的性質列出關于t的方程，求得t的值，再求AP的解析式，進而求得PM的長．

解：過P作直線PE⊥x軸于點E，過點A作AC⊥PE于點C，過點B作BD⊥PE于點D，如圖所示，
把A（2，3）代入y＝kx中，得3＝2k，
∴k＝，
∴直線AB的解析式為：y＝x，
把A（2，3）代入y＝中，得m＝6，
∴反比例函數的解析式為：y＝，
根據反比例函數與正比例函數的對稱性可得B（2，3），
設P點的坐標為（t，），
則AC＝t2，PC＝3，BD＝t＋2，PD＝＋3，
∵∠ACP＝∠BDP＝90°，∠APN＝90°，
∴∠CAP＋∠APC＝∠APC＋∠BPD＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
∴△ACP∽△PDB，
∴，即，
解得，t＝2（A點的橫坐標），或t＝3，
∴P（3，2），
設直線AP的解析式為：y＝ax＋b（a≠0），則，解得， ，
∴直線AP的解析式為：y＝x＋5，
令y＝0，得x＝5，
∴M（5，0），
∴PM＝＝，
故答案為：．