Question

【題目】如圖，將半徑為4的沿弦折疊，圓上點折疊后恰好與圓點重合，連接并延長交于點，連接.點為弧上一點，、分別為線段、上一動點，則周長的最小值為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，首先求出∠ACB＝60°，作P關于AC、BC的對稱點G、S，連接GS交AC、BC于M、N，可得 的周長＝GS，由中位線定理可得EF＝ GS，證明C、E、P、F四點共圓，根據∠ECF＝60°求出EF＝ CP，可得當CP取最小值時，EF取最小值，此時GS取最小值，即 的周長取最小值，連接PC、PO’、CO’，可得當P、K重合時CP取最小值，解直角△AO’C求出CO’，進而可得CP的最小值，然后由已證得的等量關系可得答案.

解：如圖：連接AO’，

由折疊可得，△AOO’是等邊三角形，OO’⊥AB，

∵∠ABC＝90°，

∴OO’∥BC，

∴∠ACB＝∠AOO’＝60°，

作P關于AC、BC的對稱點G、S，連接GS交AC、BC于M、N，

則此時的周長＝PM+PN+MN=MG+NS+MN＝GS，

∵E、F分別是PG、PS的中點，

∴EF＝GS，

∴當EF取最小值時，GS取最小值，即的周長取最小值，

∵∠PEC＝∠PFC＝90°，

∴C、E、P、F四點共圓且直徑為CP，

∵∠ECF＝60°，易得EF＝CP·sin60°＝CP，

故當CP取最小值時，EF取最小值，

連接PC、PO’、CO’，可知，PC+ PO’＞CO’，

∵CO’＝CK+ O’K，且O’K＝PO’，

∴PC＞CK，

故當P、K重合時CP取最小值，此時CP＝CK＝CO’－O’K，

∵AC是直徑，

∴AC＝8，∠AO’C＝90°，

∴CO’＝AC·sin60°＝8×＝，

∴CP＝CK＝CO’－O’K＝，

∴EF＝CP＝，

∴GS＝2EF＝，

即周長的最小值為：，

故答案為：.