Question

【題目】二次函數圖象如圖所示，下列結論：①；②；③當時，；④；⑤若，且，則．其中正確的有______.

Answer 1

【答案】②③⑤

【解析】

根據拋物線開口方向得a＜0，由拋物線對稱軸為直線x＝＝1，得到b＝2a＞0，即2a＋b＝0，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，所以abc＜0；根據二次函數的性質得當x＝1時，函數有最大值a＋b＋c，則當m≠1時，a＋b＋c＞am2＋bm＋c，即a＋b＞am2＋bm；根據拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在（1，0）的右側，則當x＝1時，y＜0，所以ab＋c＜0；把ax12＋bx1＝ax22＋bx2先移項，再分解因式得到（x1x2）[a（x1＋x2）＋b]＝0，而x1≠x2，則a（x1＋x2）＋b＝0，即x1＋x2＝，然后把b＝2a代入計算得到x1＋x2＝2．

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線對稱軸為直線x＝＝1，

∴b＝2a＞0，即2a＋b＝0，所以②正確；

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①錯誤；

∵拋物線對稱軸為直線x＝1，

∴函數的最大值為a＋b＋c，

∴當m≠1時，a＋b＋c＞am2＋bm＋c，即a＋b＞am2＋bm，所以③正確；

∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側，而對稱軸為直線x＝1，

∴拋物線與x軸的另一個交點在（1，0）的右側

∴當x＝1時，y＜0，

∴ab＋c＜0，所以④錯誤；

∵ax12＋bx1＝ax22＋bx2，

∴ax12＋bx1ax22bx2＝0，

∴a（x1＋x2）（x1x2）＋b（x1x2）＝0，

∴（x1x2）[a（x1＋x2）＋b]＝0，

而x1≠x2，

∴a（x1＋x2）＋b＝0，即x1＋x2＝，

∵b＝2a，

∴x1＋x2＝2，所以⑤正確．

綜上所述，正確的有②③⑤．

故答案為②③⑤．